Question

20．用定義證明函數(shù)f（x）=x-$\frac{6}{x}$在（0，+∞）單調遞增．

Answer 1

分析 根據(jù)增函數(shù)的定義，設任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，從而證明f（x₁）＞f（x₂），這樣便可得出f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

解答 證明：設x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}-\frac{6}{{x}_{1}}-{x}_{2}+\frac{6}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{6}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴${x}_{1}-{x}_{2}＞0，1+\frac{6}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

點評 考查增函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，以及作差的方法比較f（x₁），f（x₂），是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．