Question

6．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥BC，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，點O為側(cè)棱SC的中點，且SA=AB=BC=2，AD=1．
（1）求證：OD∥平面SAB；
（2）求直線SD與平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可以說明AD，AB，AS三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并且可以求出圖形上各點的坐標(biāo)．容易說明$\overrightarrow{AD}$為平面SAB的一條法向量，可以求出$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{OD}$的坐標(biāo)，可以得出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OD}=0$，從而得出OD∥平面SAB；
（2）可求出向量$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BS}，\overrightarrow{SD}$的坐標(biāo)，設(shè)平面SBC的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BS}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{m}$，設(shè)直線SD與平面SBC所成角為θ，從而由$sinθ=|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{SD}＞|$即可得出直線SD與平面SBC所成角的正弦值．

解答 解：（1）證明：SA⊥底面ABCD，AB，AD?底面ABCD；
∴SA⊥AB，SA⊥AD；
又AB⊥AD；
∴AD，AB，AS三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），O（1，1，1）；
∴$\overrightarrow{OD}=（0，-1，-1）$，$\overrightarrow{AD}=（1，0，0）$；
∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA=A；
∴AD⊥平面SAB；
∴$\overrightarrow{AD}$是平面SAB的一條法向量；
∵$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AD}=0$；
∴$\overrightarrow{OD}⊥\overrightarrow{AD}$，且OD?平面SAB；
∴OD∥平面SAB；
（2）$\overrightarrow{SD}=（1，0，-2），\overrightarrow{BC}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{BS}=（0，-2，2）$；
設(shè)平面SBC的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BS}=-2y+2z=0}\end{array}\right.$；
取z=1，則$\overrightarrow{m}=（0，1，1）$；
設(shè)直線SD與平面SBC所成角為θ，則：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{SD}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SD}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{SD}|}=\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$；
∴直線SD與平面SBC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 考查通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線面平行以及求線面角的方法，平面法向量的概念及求法，線面垂直的性質(zhì)及其判定定理，清楚直線和平面所成角和直線的方向向量和平面法向量夾角的關(guān)系，以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．