Question

【題目】已知函數(shù)在點處的切線斜率為0.函數(shù)

（1）試用含的代數(shù)式表示；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）令，設函數(shù)在處取得極值，記點，，證明：線段與曲線存在異于，的公共點.

Answer 1

【答案】（1）.（2）答案見解析.（3）證明見解析

【解析】

（1）求導后利用，即可得解；

（2）求導后分，和三種情況討論求出單調(diào)區(qū)間即可；

（3）由的極值得到，兩點的坐標，進一步得到直線的方程，聯(lián)立方程求解即可得解.

（1）由，得，

∵在點處的切線斜率為0，

∴，∴；

（2）由（1）得，則

，

令，則或，

①當時，，

當時，，此時單調(diào)遞減；

當時，，

此時在和上單調(diào)遞增；

②當時，，此時恒成立，且僅有時，

∴在上單調(diào)遞增；

③當時，，

同理可得的增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

綜上，當時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；當時，的單調(diào)增區(qū)間為；當時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；

（3）當時，，

令，則或，

由（2）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，

∴函數(shù)在和3處取得極值，

∴，，所以.

∴直線的方程為，

由得，

令，

易得，，

而的圖象在(0，2)內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，

故在(0，2)內(nèi)存在零點，即線段與曲線有異于，的公共點.