Question

已知橢圓．過點(diǎn)（m，0）作圓x²+y²=1的切線I交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．
（I）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（Ⅱ）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意及橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓離心率的定義和點(diǎn)到直線的距離公式即可求解；
（II）由題意即m得取值范圍分m=1時(shí)，m=-1及當(dāng)m≠±1三大類求出|AB|的長度，利用直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到k與m之間關(guān)系等式，利用
解答：解：（I）由題意得a=2，b=1，所以c=
∴橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo) 離心率e=．
（II）由題意知：|m|≥1，
當(dāng)m=1時(shí)，切線l的方程為x=1，點(diǎn)A（1，）  點(diǎn)B（1，-） 此時(shí)|AB|=；
當(dāng)m=-1時(shí)，同理可得|AB|=；
當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線l的方程為：y=k（x-m），由⇒（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=  
又由l與圓圓x²+y²=1相切∴圓心到直線l的距離等于圓的半徑即=1⇒m²=，
所以|AB|=
==，由于當(dāng)m=±1時(shí)，|AB|=，
當(dāng)m≠±1時(shí)，|AB|=，此時(shí)m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）
又|AB|=≤2（當(dāng)且僅當(dāng)m=±時(shí)，|AB|=2），
所以，|AB|的最大值為2．
故|AB|的最大值為2．
點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了橢圓及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了點(diǎn)到直線的距離公式，對于第二問，重點(diǎn)考查了利用m的范圍分裂進(jìn)行討論，聯(lián)立直線與橢圓的方程利用整體代換的思想建立m與k的關(guān)系等式，還考查兩點(diǎn)間的距離公式及又m的范圍解出|AB|的最值．