Question

設(shè)f（x）是定義在區(qū)間（1，+∞）上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對(duì)任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a），設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

b+2

x+1

(x＞1)，其中b為實(shí)數(shù)．
（1）求證：函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（b）；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（1）f′（x）=

1

x

-

b+2

(x+1)2

=

1

x(x+1)2

(x2-bx+1)
∵x＞1時(shí)，h(x)=

1

x(x+1)2

＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（b）；
（2）當(dāng)b≤2時(shí)，對(duì)于x＞1，φ（x）=x²-bx+1≥x²-2x+1=（x-1）²＞0
所以f′（x）＞0，故此時(shí)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增；
當(dāng)b＞2時(shí)，φ（x）圖象開口向上，對(duì)稱軸x=

b

2

＞1，
方程φ（x）=0的兩根為：

b+ b2-4

2

，

b- b2-4

2

，而

b+ b2-4

2

＞1，

b- b2-4

2

=

2

b+ b2-4

∈(0，1)
當(dāng)x∈(1，

b+ b2-4

2

)時(shí)，φ（x）＜0，f′（x）＜0，
故此時(shí)f（x）在區(qū)間(1，

b+ b2-4

2

)上遞減；
同理得：f（x）在區(qū)間[

b+ b2-4

2

，+∞)上遞增．
綜上所述，當(dāng)b≤2時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增；
當(dāng)b＞2時(shí)，f（x）在(1，

b+ b2-4

2

)上遞減；f（x）在[

b+ b2-4

2

，+∞)上遞增．