Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點（a_n，a_n+1）在直線y=2x上．數(shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N⁺），且b₃=11，S₉=153．
b_n+2-2b_n+1+b_n=0
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項；
（Ⅱ）設c_n=a_n•b_n，{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（I）由題意可得a_n+1=2a_n，即數(shù)列a_n為等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項可求a_n；由b_n+2-2b_n+1+b_n=0?b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，從而可得數(shù)列b_n為等差數(shù)列，結合題中所給條件可求公差d，首項b₁，進一步可求數(shù)列的通項．
（II）由（I）可知數(shù)列a_nb_n分別為等差、等比數(shù)列，對數(shù)列c_n求和用錯位相減．

解答：解：（Ⅰ）點（a_n，a_n+1）在直線y=2x上，
∴

an+1

an

=2，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
又a₁=2，∴a_n=2ⁿ．
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n═b₂-b₁
即數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，∵b₁=11，S₉=153，設首項為b₁，公差為d．
b₁+2d=19b1+

9•8

2

•d=153，解得b₁=5，d=3，∴b_n=3n+2
（Ⅱ）c_n=b_n•a_n=（3n+2）•2ⁿ∴T_n=5•2+8•2²++（3n+2）•2ⁿ①
2T_n=5•2²+8•2³++（3n+2）•2ⁿ⁺¹②
①-②得：-T_n=5•2+3•2²++3•2ⁿ-（3n+2）•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（3n-1）•2ⁿ⁺¹+2

點評：本題主要考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式、定義，屬于對基本概念、基本公式的考查，還考查了求和方法的乘公比錯位相減求和，屬于基礎題中檔題．