Question

已知數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足關(guān)系，a₁=2a，a_n+1=（a_n+），（n∈N₊，a＞0）
（l）求證：數(shù)列{log₃b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，是否有確定的大小關(guān)系？若有，請加以證明，若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（l）先利用已知條件求出{b_n}的遞推關(guān)系式，再代入所求log₃b_n，利用定義即可證明數(shù)列{log₃b_n}是等比數(shù)列；
（2）先由（l）求出{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再對數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮后求和即可比較出，的大小關(guān)系．
解答：解：（l）因?yàn)閎_n+1====b_n²．
所以有==2，
又log=log3³=1．
故數(shù)列{log₃b_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（l）得log=2^n-1，所以b_n=，
由b_n=⇒a_n=a+=a+．
當(dāng)n≥2時(shí)，-1=≥（1+2^n-1•2+）-1=2ⁿ+=2ⁿ+2^2n-1-2ⁿ=2^2n-1．
所以有，
故=na+2a（+…+）
≤na+2a（）=na+2a=na+a（1-）＜na+a．
即n≥2，有確定的大小關(guān)系，前小后大．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及利用放縮法比較大小，是一道比較難的題目..