Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．
AD=1， ，BC=4．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求直線AB與平面PDC所成角；
（3）設(shè)點(diǎn)E在棱PC上， ，若DE∥面PAB，求λ的值．

Answer 1

解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB= ，
∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD
∴∠DBC=60°，BC=4，
由余弦定理得DC=2 ，
BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC內(nèi)，∴BD⊥PC
（2）在底面ABCD內(nèi)過(guò)D作直線DF∥AB，交BC于F，分別以DA、DF、DP為x、y、z軸建立如圖空間坐標(biāo)系，
由（1）知BD⊥面PDC，∴ 就是面PDC的法向量，
A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）=（0，，0），=（1，，0），
設(shè)AB與面PDC所成角大小為θ，sinθ==，
∵θ∈（0，）∴θ=
（3）在（2）中的空間坐標(biāo)系中A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a），
C（﹣3，，0），=（﹣3，，﹣a），=（﹣3λ，λ，﹣aλ），
=+=（0，0，a）+（﹣3λ，λ，﹣aλ）=（﹣3λ，λ，a﹣aλ）
=（0，，0），=（1，0，﹣a），
設(shè)=（x，y，z）為面PAB的法向量，
由=0，得y=0，
由=0，得x﹣az=0，取x=a，z=1，=（a，0，1），
由DE∥面PAB得：⊥，
∴=0，﹣3aλ+a﹣aλ=0，∴λ=