Question

如圖，直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點(diǎn)，AA₁=AC=CB=AB．
（Ⅰ）證明：BC₁∥平面A₁CD
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過(guò)證明BC₁平行平面A₁CD內(nèi)的直線DF，利用直線與平面平行的判定定理證明BC₁∥平面A₁CD
（Ⅱ）證明DE⊥平面A₁DC，作出二面角D-A₁C-E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．
解答：解：（Ⅰ）證明：連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)F，則F為AC₁的中點(diǎn)，
又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC₁∥DF，
因?yàn)镈F?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）因?yàn)橹崩庵鵄BC-A₁B₁C₁，所以AA₁⊥CD，
由已知AC=CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，
又AA₁∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB₁A₁，
設(shè)AB=2，則AA₁=AC=CB=2，得∠ACB=90°，
CD=，A₁D=，DE=，A₁E=3
故A₁D²+DE²=A₁E²，即DE⊥A₁D，所以DE⊥平面A₁DC，
又A₁C=2，過(guò)D作DF⊥A₁C于F，∠DFE為二面角D-A₁C-E的平面角，
在△A₁DC中，DF==，EF==，
所以二面角D-A₁C-E的正弦值．sin∠DFE=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力．