Question

表面積為4π的球O與平面角為鈍角的二面角的兩個半平面相切于A、B兩點，三角形OAB的面積S=

2

5

，則球心到二面角的棱的距離為

5

2

．

Answer 1

分析：根據表面積為4π的球，可求半徑為1，根據截面圖，可知PA和PB是球的大圓切線，OP是球心至棱的距離，從而可求．

解答：解：由題意，S=4πR²=4π，∴R=1，
根據截面圖，PA和PB是球的大圓切線，OP是球心至棱的距離，
∵S_△OAB=

1

2

R2sin∠AOB=

1

2

sin∠AOB=

2

5

，
∴sin∠AOB=

4

5

，
∴cos∠AOB=

3

5

，
∴cos

∠AOB

2

=

2 5

5

，
∵cos

∠AOB

2

=

OA

OP

，
∴OP=

5

2

．

點評：本題以二面角為載體，考查球的表面積，考查球的截面，考查三角函數(shù)，屬于中檔題．