Question

已知函數(shù)f（x）=2+log₃x，定義域?yàn)?span id="zt33xbv" class="MathJye">[

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81

，81]，求函數(shù)g（x）=[f（x）]²-f（x²）的最值，并指出g（x）取得最值時(shí)相應(yīng)自變量x的取值．

Answer 1

分析：先求函數(shù)g（x）=[f（x）]²-f（x²）的定義域，將f（x）=2+log₃x代入y=[f（x）]²+f（x²）中，整理化簡(jiǎn)為關(guān)于log₃x的函數(shù)，利用換元法求最值．

解答：解：要使函數(shù)有意義，必須

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81

≤x≤81且

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81

≤x²≤81，解得

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9

≤x≤9
又y=（2+log₃x）²-（2+log₃x²）=（log₃x）²+2log₃x+2
令t=log₃x，y=t²+2t+2=（t+1）²+1，由

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9

≤x≤9得-2≤t≤2，
當(dāng)t=-1時(shí)，即x=

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3

時(shí)，y_min=1，當(dāng)t=2時(shí)，即x=9時(shí)，y_max=10，

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．本題考查換元法求函數(shù)的值域問(wèn)題，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特點(diǎn)，在使用換元法時(shí)，注意范圍．