Question

已知L為過點(diǎn)P(-

3 3

2

，-

3

2

)且傾斜角為30°的直線，圓C為圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)且半徑等于1的圓，Q表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)而焦點(diǎn)是(

2

8

，0)的拋物線，設(shè)A為L和C在第三象限的交點(diǎn)，B為C和Q在第四象限的交點(diǎn)．
（1）寫出直線L、圓C和拋物線Q的方程，并作草圖．
（2）寫出線段PA、圓弧AB和拋物線上OB一段的函數(shù)表達(dá)式．
（3）設(shè)P′、B′依次為從P、B到x軸的垂足，求由圓弧AB和直線段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面積．

Answer 1

分析：（1）由題意代入點(diǎn)斜式求直線方程，代入標(biāo)準(zhǔn)式求圓的方程和拋物線的方程；
（2）分別聯(lián)立直線、圓和拋物線的方程，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再通過圖形表示出線段PA、圓弧AB和拋物線上OB一段的函數(shù)表達(dá)式，注意范圍；
（3）先作出圖形再把圖形進(jìn)行分割，再由（2）求的點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求每一部分的面積，最后再求和．

解答：解：（1）由題意知，直線L的方程為y+

3

2

=

3

3

（x+

3 3

2

），即y=

3

3

x；
圓C的方程為x²+y²=1，拋物線Q的方程為Q：y2=

2

2

x
草圖為：
（2）由

y= 3 3 x x2+y2=1

，解得A點(diǎn)橫坐標(biāo)x=-

3

2

．
∴線段PA的函數(shù)表達(dá)式為：f1(x)=

3

3

x，(-

3 3

2

≤x≤-

3

2

)
由

y2= 2 2 x x2+y2=1

，解得B點(diǎn)橫坐標(biāo)x=

2

2

．
∴圓弧AB的函數(shù)表達(dá)式為：f2(x)=-

1-x2

，(-

3

2

≤x≤

2

2

)
∴拋物線上OB一段的函數(shù)表達(dá)式為：f3(x)=-

2 2

x．(0≤x≤

2

2

)．
（3）如下圖所求的面積為圖中陰影部分，
由（2）和題意知，P'點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

3 3

2

和點(diǎn)P(-

3 3

2

，-

3

2

)，
∴△POP′的面積=

9

8

3

．
∵A點(diǎn)橫坐標(biāo)x=-

3

2

，B點(diǎn)橫坐標(biāo)x=

2

2

，∴∠AOB=

π

4

+

π

3

=

7π

12

，
∴扇形OAB的面積為

7

24

π．△BOB′的面積=

1

4

．
∴所求面積

9

8

3

+

7

24

π+

1

4

（圖中陰影部分）．

點(diǎn)評：本題涉及的內(nèi)容多且層次分明，考查了求直線方程、圓的方程和拋物線的方程，還把幾何圖形和函數(shù)聯(lián)系在一起，是一道新穎的直線與圓錐曲線綜合強(qiáng)的題．