Question

已知實數(shù)a₁，a₂，…，a_n滿足a₁+a₂+…+a_n=144（其中a_i≥1，i=1，2，3，…n，n∈N^*且n＞2）
（Ⅰ）當n=3時，若a₁=a₂，且a₁，a₂，a₃是△ABC的三條邊長，則a₃的取值范圍是

 

；
（Ⅱ）如果這n個數(shù)中任意三個數(shù)都不能構成一個三角形的三條邊長，則n的最大值是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列的應用,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用構成三角形的條件，即可求出a₃的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)這n個數(shù)中任意三個數(shù)都不能構成一個三角形的三條邊長，得出a_i，即可求出n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）當n=3時，a₁+a₂+a₃=144，∴144-a₃=a₁+a₂＞a₃，
∴a₃＜72，
∵a₃≥1，
∴a₃的取值范圍是[1，72）；
（Ⅱ）∵這n個數(shù)中任意三個數(shù)都不能構成一個三角形的三條邊長，
∴邊長在1，1，2，3，5，8，13，21，34，56中取，
∴n的最大值是10．
故答案為：[1，72）；10．

點評：本題考查數(shù)列知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．