Question

9．橢圓ax²+by²=1與直線y=1-x交于A、B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$\frac{a}$值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{27}$

Answer 1

分析 把y=1-x代入橢圓ax²+by²=1得ax²+b（1-x）²=1，由根與系數(shù)的關系可以推出線段AB的中點坐標為（ $\frac{a+b}$，$\frac{a}{a+b}$），再由過原點與線段AB中點的直線的斜率為 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，能夠?qū)С?nbsp;$\frac{a}$的值．

解答 解：把y=1-x代入橢圓ax²+by²=1得ax²+b（1-x）²=1，
整理得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{2b}{a+b}$，y₁+y₂=2-$\frac{2b}{a+b}$，
∴線段AB的中點坐標為（ $\frac{a+b}$，$\frac{a}{a+b}$），
∴過原點與線段AB中點的直線的斜率k=$\frac{\frac{a}{a+b}}{\frac{a+b}}$=$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\frac{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)及其應用，解題時要注意公式的靈活運用．考查轉(zhuǎn)化思想的應用．