Question

1．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對于任意的x，f′（x）$＜\frac{1}{2}$恒成立，則不等式f（lg²x）＜$\frac{l{g}^{2}x}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{10}$）
• B． （10，+∞）
• C． （$\frac{1}{10}$，10）
• D． （0，$\frac{1}{10}$）∪（10，+∞）

Answer 1

分析 設g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，由f′（x）＜$\frac{1}{2}$，得到g′（x）小于0，得到g（x）為減函數(shù)，將所求不等式變形后，利用g（x）為減函數(shù)求出x的范圍，即為所求不等式的解集．

解答 解：設g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，由f′（x）＜$\frac{1}{2}$，得到g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴g（x）為減函數(shù)．
又f（1）=1，
∵f（lg²x）＜$\frac{l{g}^{2}x}{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴g（lg²x）=f（lg²x）-$\frac{1}{2}$lg²x＜$\frac{l{g}^{2}x}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$lg²x=$\frac{1}{2}$=f（1）-$\frac{1}{2}$=g（1）=g（lg²10），
∴l(xiāng)g²x＞lg²10，
∴（lgx+lg10）（lgx-lg10）＞0，
∴l(xiāng)gx＜-lg10，或lgx＞lg10，
解得0＜x＜$\frac{1}{10}$，或x＞10，
故選：D

點評 本題考查了其他不等式的解法，涉及的知識有：利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性，對數(shù)函數(shù)的單調性及特殊點，以及對數(shù)的運算性質，是一道綜合性較強的試題，屬于中檔題