Question

已知：圓x²+y²=1過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)：直線y=kx+m與圓x²+y²=1相切，與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1相交于A，B兩點(diǎn)記λ=

OA

•

OB

，且

2

3

≤λ≤

3

4

，
（1）求橢圓的方程；
（2）求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓x²+y²=1過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)，可求出a，因?yàn)閳Ax²+y²=1與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，可求出b，橢圓的方程可知．
（2）利用直線y=kx+m與圓x²+y²=1相切，可把m用k表示，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，把λ用k表示，根據(jù)λ的范圍，即可求出k的范圍．

解答：解：（1）由題意知2c=2，c=1，
∵圓與橢圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴b=1，∴a=

2

∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）∵直線y=kx+m與圓x²+y²=1相切，∴原點(diǎn)O到直線的距離為

|m|

1+k2

=1，即m²=k²+1
把直線y=kx+m代入橢圓方程，消去y可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

λ=

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=（1+k²）•

2m2-2

1+2k2

+km•

2m2-2

1+2k2

+m²=

k2+1

1+2k2

∵

2

3

≤λ≤

3

4

，∴

1

2

≤k²≤1
∴k的取值范圍為[-1，-

2

2

]∪[

2

2

，1]．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓方程的求法，考查橢圓與直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．