精英家教網(wǎng)已知四邊形ABCD是菱形,∠BAD=60°,四邊形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,G、H分別是CE、CF的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BH∥平面AEF;
(Ⅱ)若平面BDGH與平面ABCD所成的角為60°,求直線CF與平面BDGH所成的角的正弦值.
分析:(Ⅰ)平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF與OG分別平行平面BDGH內(nèi)的兩條相交直線GH與OG,利用平面與平面平行的判定定理證明即可,從而可得BH∥平面AEF;
(Ⅱ)取EF的中點(diǎn)N,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,BF=t,求出B、C、F、H坐標(biāo),求出平面BDGH的一個(gè)法向量,平面ABCD的法向量,利用向量的數(shù)量積,結(jié)合二面角的大小,求出t,然后求出直線CF與平面BDGH所成的角的正弦值.
解答:精英家教網(wǎng)(Ⅰ)證明:因?yàn)镚、H分別是CE、CF的中點(diǎn),
所以EF∥GH,
因?yàn)镋F?平面BDGH,GH?平面BDGH,
所以EF∥平面BDGH,①
連接AC與BD交與O,
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以O(shè)是AC的中點(diǎn)
連OG,OG是三角形ACE的中位線,
所以O(shè)G∥AE,
因?yàn)锳E?平面BDGH,OG?平面BDGH,
所以AE∥平面BDGH,
由①②知,平面AEF∥平面BDGH,
所以BH∥平面AEF;
(Ⅱ)解:BF⊥BD,平面BDEF⊥平面ABCD,所以BF⊥平面ABCD---------(5分)
取EF的中點(diǎn)N,ON∥BF,所以O(shè)N⊥平面ABCD,
如圖建系,設(shè)AB=2,BF=t,則B(1,0,0),C(0,
3
,0),F(xiàn)(1,0,t(,H(
1
2
3
2
,
t
2

所以
OB
=(1,0,0),
OH
=(
1
2
,
3
2
,
t
2
),
設(shè)平面BDGH的法向量為
n1
=(x,y,z),則
x=0
1
2
x+
3
2
y+
t
2
z=0
,
所以
n1
=(0,-t,
3
),
平面ABCD的法向量
n2
=(0,0,1),
因?yàn)槠矫鍮DGH與平面ABCD所成的角為60°,
所以|cos<
n1
,
n2
>=
3
3+t2
=
1
2
,所以t2=9,t=3,
所以
CF
=(1,-
3
,3),
設(shè)直線CF與平面BDGH所成的角為θ,則sinθ=|cos<
CF
,
n1
>|=
6
3
13
×2
3
=
3
13
13
點(diǎn)評(píng):本題考查空間向量求解二面角以及直線與平面所成角的求法,平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用,考查空間想象能力,邏輯推理能力以及計(jì)算能力的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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