已知e是自然對數(shù)的底，若函數(shù)f（x）=|ex-bx|有且只有一個零點，則實數(shù)b的取值范圍是
（-∞，0）∪{ e}
（-∞，0）∪{ e}
．
分析：f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個解，即方程ex-bx=0有且只有一個解，因為x=0不滿足方程，所以方程同解于b=
ex
x
，分類討論可得當x∈（0，+∞）時，方程有且只有一解等價于b=e；當x∈（-∞，0）時，方程有且只有一解等價于b∈（-∞，0），從而可得b的取值范圍；
解答：解：f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個解，即方程ex-bx=0有且只有一個解．
因為x=0不滿足方程，所以方程同解于b=
ex
x
． 
令h（x）=
ex
x
，由h′（x）=
(x-1)ex
x2
=0得x=1．
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，h（x）∈（e，+∞）；
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，h（x）∈（e，+∞）；
所以當x∈（0，+∞）時，方程b=
ex
x
有且只有一解等價于b=e．
當x∈（-∞，0）時，h（x）單調遞減，且h（x）∈（-∞，0），
從而方程b=
ex
x
有且只有一解等價于b∈（-∞，0）．
綜上所述，b的取值范圍為（-∞，0）∪{e}．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學思想，難度較大．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湛江二模）已知a＜2，f(x)=x-alnx-
a-1
x
，g(x)=
1
2
x2+ex-xex．（注：e是自然對數(shù)的底）
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x2∈[-2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湛江一模）已知函數(shù)f（x）=ex-1，g(x)=
x
+x，其中e是自然對數(shù)的底，e=2.71828…．
（1）證明：函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間（1，2）上有零點；
（2）求方程f（x）=g（x）根的個數(shù)，并說明理由；
（3）若數(shù)列{an}（n∈N*）滿足a1=a（a＞0）（a為常數(shù)），an+13=g（an），證明：存在常數(shù)M，使得對于任意n∈N*，都有an≤M．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

已知e是自然對數(shù)的底，若函數(shù)f（x）=|ex-bx|有且只有一個零點，則實數(shù)b的取值范圍是________．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省鎮(zhèn)江市高二（上）期末數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知e是自然對數(shù)的底，若函數(shù)f（x）=|ex-bx|有且只有一個零點，則實數(shù)b的取值范圍是    ．

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