Question

19．如圖，球O中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，圓柱的側(cè)面積為16$\sqrt{2}$π，則球O的體積為32$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為2h，球的半徑為R，表示體積，利用基本不等式，可得h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R時(shí)取等號(hào)，根據(jù)圓柱的側(cè)面積為16$\sqrt{2}$π，求出R，即可求出球O的體積．

解答 解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為2h，球的半徑為R，則
V=πR²•2h=2πr²h=2πh（R²-h²）=$\sqrt{2}$π（$\sqrt{2}$h•$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$•$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$）≤$\sqrt{2}$π•$（\frac{2{R}^{2}}{3}）^{\frac{3}{2}}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{2}$h=$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$，即h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R時(shí)取等號(hào)．
圓柱的側(cè)面積為2πr•2h=16$\sqrt{2}$π，
∴rh=4$\sqrt{2}$，
∴R=2$\sqrt{3}$，
∴球O的體積為$\frac{4}{3}π•（2\sqrt{3}）^{3}$=32$\sqrt{3}$π．
故答案為：32$\sqrt{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓柱的側(cè)面積、體積，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．