Question

已知命題p：x₁和x₂是方程x²﹣mx﹣2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式a²﹣5a﹣3≥|x₁﹣x₂|對任意實(shí)數(shù)m∈[﹣1，1]恒成立；命題q：不等式ax²+2x﹣1＞0有解，若命題p是真命題，命題q是假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

解：∵x₁，x₂是方程x²﹣mx﹣2=0的兩個(gè)實(shí)根
∴
∴|x₁﹣x₂|==
∴當(dāng)m∈[﹣1，1]時(shí)，|x₁﹣x₂|_max=3，
由不等式a²﹣5a﹣3≥|x₁﹣x₂|對任意實(shí)數(shù)m∈[﹣1，1]恒成立．可得：
a²﹣5a﹣3≥3，
∴a≥6或a≤﹣1，
∴命題p為真命題時(shí)a≥6或a≤﹣1，
命題q：不等式ax²+2x﹣1＞0有解．
①當(dāng)a＞0時(shí)，顯然有解．
②當(dāng)a=0時(shí)，2x﹣1＞0有解
③當(dāng)a＜0時(shí)，∵ax²+2x﹣1＞0有解， ∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，
從而命題q：不等式ax²+2x﹣1＞0有解時(shí)a＞﹣1．
又命題q是假命題， ∴a≤﹣1，
故命題p是真命題且命題q是假命題時(shí)，
a的取值范圍為a≤﹣1．