如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2PA，D、E分別是棱AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE，連接DE，當(dāng)三棱錐P-ADE體積最大時(shí)，平面PDE和平面PBC所成二面角的余弦值為（　　）
分析：求出三棱錐P-ADE體積最大時(shí)，D、E分別是棱AB，AC上的中點(diǎn)，作出平面PDE和平面PBC所成二面角，利用余弦定理，即可求得結(jié)論．
解答：解：由題意，設(shè)AB=BC=CA=2PA=2，AD=CE=t，則三棱錐P-ADE體積為
1
3
×
1
2
×t×(2-t)×
3
2
=
3
12
(-t2+2t)
=-
3
12
(t-1)2+
3
12

∴t=1時(shí)，三棱錐P-ADE體積最大，此時(shí)，D、E分別是棱AB，AC上的中點(diǎn)
取DE中點(diǎn)M，BC中點(diǎn)N，連接PM，MN，PN，則
∵DE∥BC，PM⊥DE，PN⊥BC
∴∠MPN為平面PDE和平面PBC所成二面角，
在△MNP中，PM=
7
2
，MN=
3
2
，PN=2，
∴cos∠MPN=
PM2+PN2-MN2
2PM•PN
=
7
4
+4-
3
4
2•
7
2
•2
=
5
7
14

故選D．
點(diǎn)評：本題考查三棱錐體積的計(jì)算，考查面面角，考查余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積．若f（M）=（
1
2
，x，y），且
1
x
+
a
y
≥8恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，則當(dāng)△AEF的面積最大時(shí)，tanθ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE‖平面PBC；
（Ⅱ）求證：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PA=PB=PC，∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°，一繩子從A點(diǎn)繞三棱錐側(cè)面一圈回到點(diǎn)A的最短距離是
3
，則PA=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，點(diǎn)D，E分別在棱
PB，PC上，且BC∥平面ADE
（I）求證：DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時(shí)，求多面體ABCED與PAED的體積比．

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