Question

已知P是橢圓

x2

4

+y2=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若△F₁PF₂的面積為

3

3

，則∠F₁PF₂等于（　�。�

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

分析：設(shè)|PF₁|=m、PF₂|=n，在△F₁PF₂中根據(jù)余弦定理并結(jié)合橢圓的定義，算出mn（1+cos∠F₁PF₂）=2．由△F₁PF₂的面積為

3

3

，算出mnsin∠F₁PF₂=

2 3

3

．兩式相除得到關(guān)于∠F₁PF₂的三角函數(shù)等式，化簡(jiǎn)得出sin（∠F₁PF₂-30°）=

1

2

，結(jié)合∠F₁PF₂是三角形的內(nèi)角可得∠F₁PF₂的大小．

解答：解：橢圓

x2

4

+y2=1中，a=2，b=1，可得c=

a2-b2

=

3

，焦距|F₁F₂|=2

3

．
設(shè)|PF₁|=m、|PF₂|=n，根據(jù)橢圓的定義，可得m+n=2a=4，…①．
△F₁PF₂中，根據(jù)余弦定理得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
即12=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，整理得（m+n）²-2mn（1+cos∠F₁PF₂）=12，…②
將①代入②，可得16-2mn（1+cos∠F₁PF₂）=12，解得mn（1+cos∠F₁PF₂）=2，…③
又∵△F₁PF₂的面積S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|•sin∠F₁PF₂=

3

3

，
∴

1

2

mnsin∠F₁PF₂=

3

3

，解得mnsin∠F₁PF₂=

2 3

3

，…④
③④相除，可得

1+cos∠F1PF2

sin∠F1PF2

=

3

，即1+cos∠F₁PF₂=

3

sin∠F₁PF₂，
移項(xiàng)得

3

sin∠F₁PF₂-cos∠F₁PF₂=1，即2sin（∠F₁PF₂-30°）=1，
∴sin（∠F₁PF₂-30°）=

1

2

結(jié)合∠F₁PF₂是三角形的內(nèi)角，可得∠F₁PF₂=60°．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題已知橢圓上點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F₁、F₂構(gòu)成的三角形的面積，求∠F₁PF₂的大小．著重考查了橢圓的定義、余弦定理和三角恒等變換等知識(shí)，屬于中檔題．