Question

【題目】如圖，O坐標原點，從直線yx+1上的一點作x軸的垂線，垂足記為Q1，過Q1作OP1的平行線，交直線yx+1于點，再從P2作x軸的垂線，垂足記為Q2，依次重復上述過程得到一系列點：P1，Q1，P2，Q2，…，Pn，Qn，記Pk點的坐標為，k＝1，2，3，…，n，現已知x1＝2．

（1）求Q2、Q3的坐標；

（2）試求xk（1≤k≤n）的通項公式；

（3）點Pn、Pn+1之間的距離記為|PnPn+1|（n∈N*），是否存在最小的正實數t，使得t對一切的自然數n恒成立？若存在，求t的值，若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】(1) Q2（6，0），Q3（14，0）；(2)，1≤k≤n； (3)存在，．

【解析】

（1）首先根據OP1∥P2Q1，計算出Q2的坐標，再根據OP1∥P3Q2即可計算出Q3的坐標。

（2）由Pk（xk，xk+1），Qk﹣1（xk﹣1，0），OP1∥PkQk﹣1，可得1，化為xk＝2xk﹣1+2，利用配湊法即可計算出通項式，

（3）利用|PnPn+1||xn+1﹣xn||2n+2﹣2n+1|2n，可得（）（1）。

（1）x1＝2，即有P1（2，2），，Q1（2，0），P2（x2，x2+1），OP1∥P2Q1，

可得1，解得x2＝6，則Q2（6，0），由P2（6，4），P3（x3，x3+1），

OP1∥P3Q2，可得1，解得x3＝14，Q3（14，0）；

（2）由Pk（xk，xk+1），Qk﹣1（xk﹣1，0），

OP1∥PkQk﹣1，可得

1，化為xk＝2xk﹣1+2，

即為xk+2＝2（xk﹣1+2），

可得數列{xk+2}為首項是4，公比為2的等比數列，

則xk+2＝42k﹣1，

可得，1≤k≤n；

（3）|PnPn+1|

|xn+1﹣xn||2n+2﹣2n+1|2n，

（）（1），

假設存在最小的正實數t，使得t對一切的自然數n恒成立，

可得t，故存在這樣的t，且t的最小值為．