【題目】如圖，在正方體中，點(diǎn)是底面的中心，是線段的上一點(diǎn)。

（1）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）能否存在點(diǎn)使得平面平面，若能，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置關(guān)系，并加以證明；若不能，請(qǐng)說明理由。

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）建立空間坐標(biāo)系得到直線的方向向量和面的法向量，再由向量的夾角公式得到結(jié)果；（2）建立坐標(biāo)系得到兩個(gè)面的法向量，再由法向量互相垂直得到結(jié)果.

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以，，.

設(shè)是平面的法向量，則，

即.

取，則，所以平面的一個(gè)法向量為.

所以 .

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得平面平面，設(shè).

顯然，.

設(shè)是平面的法向量，則，即，

取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以，.

設(shè)是平面的法向量，則，即.

取，則，所以平面的一個(gè)法向量為.

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，即，，解得.

所以的值為2.即當(dāng)時(shí)，平面平面.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知的兩個(gè)頂點(diǎn)為，，平面內(nèi)P，Q同時(shí)滿足；；．

求頂點(diǎn)A的軌跡E的方程；

過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，直線，被點(diǎn)A的軌跡E截得的弦分別為，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為M，試問：直線MN是否恒過一個(gè)頂點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出該頂點(diǎn)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

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【題目】已知圓,直線,若直線上存在點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B. [,]

C. D. ）

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【題目】順次連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形。

（1）求橢圓的方程；

（2），是橢圓上的兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線，的斜率之積為（以為坐標(biāo)原點(diǎn)），線段上有一點(diǎn)滿足，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，求橢圓的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)擬建一個(gè)糧倉，如圖1所示，糧倉的軸截而如圖2所示，ED＝EC，ADBC，BC⊥AB，EF⊥AB，CD交EF于點(diǎn)G，EF＝FC＝10m．

（1）設(shè)∠CFB＝θ，求糧倉的體積關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)sinθ為何值時(shí)，糧倉的體積最大？

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【題目】對(duì)任意，函數(shù)滿足：，，數(shù)列的前15項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和的極限存在，則________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)列滿足對(duì)任意的恒成立，為其前項(xiàng)的和，且．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）數(shù)列滿足，其中．

①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

②求集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如下圖，三棱柱的各棱長(zhǎng)都是2，，，，分別是，的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，O坐標(biāo)原點(diǎn)，從直線yx+1上的一點(diǎn)作x軸的垂線，垂足記為Q1，過Q1作OP1的平行線，交直線yx+1于點(diǎn)，再從P2作x軸的垂線，垂足記為Q2，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：P1，Q1，P2，Q2，…，Pn，Qn，記Pk點(diǎn)的坐標(biāo)為，k＝1，2，3，…，n，現(xiàn)已知x1＝2．

（1）求Q2、Q3的坐標(biāo)；

（2）試求xk（1≤k≤n）的通項(xiàng)公式；

（3）點(diǎn)Pn、Pn+1之間的距離記為|PnPn+1|（n∈N*），是否存在最小的正實(shí)數(shù)t，使得t對(duì)一切的自然數(shù)n恒成立？若存在，求t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由

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