【題目】設圓滿足:(1)截軸所得弦長為2;(2)被軸分成兩段圓弧,其弧長的比為.在滿足條件(1)、(2)的所有圓中,圓心到直線的距離最小的圓的方程為__________.
【答案】或
【解析】設圓的圓心為P(a,b),半徑為r,則點P到x軸,y軸的距離分別為|b|,|a|.
由題設知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°,知圓P截X軸所得的弦長為,故r2=2b2,又圓P截y軸所得的弦長為2,所以有r2=a2+1.
從而得2b2﹣a2=1.又點P(a,b)到直線x﹣2y=0的距離為,
所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2(a2+b2)=2b2﹣a2=1,
當且僅當a=b時上式等號成立,此時5d2=1,從而d取得最小值.
由此有,解此方程組得或由于r2=2b2知.
于是,所求圓的方程是(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
解法二:同解法一,得
∴,得①
將a2=2b2﹣1代入①式,整理得②
把它看作b的二次方程,由于方程有實根,故判別式非負,即
△=8(5d2﹣1)≥0,得5d2≥1.∴5d2有最小值1,從而d有最小值.
將其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.
將b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.
綜上a=±1,b=±1,r2=2.由|a﹣2b|=1知a,b同號.
于是,所求圓的方程是(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
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【題目】設二次函數f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),f(1)=0,且1≤x≤3時,f(x)≤0恒成立,f(x)是區(qū)間[2,+∞)上的增函數.函數f(x)的解析式是;若|f(m)|=|f(n)|,且m<n<2,u=m+n,u的取值范圍是 .
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【題目】等比數列{an}的各項均為正數,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6 .
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=|10+2log3an|,求數列{bn}的前n項和Sn .
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【題目】若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數m、n作為點P的坐標(m,n),求:
(1)點P在直線x+y=7上的概率;
(2)點P在圓x2+y2=25外的概率.
(3)將m,n,5的值分別作為三條線段的長,求這三條線段能圍成等腰三角形的概率.
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【題目】已知圓M:x2+(y﹣4)2=4,點P是直線l:x﹣2y=0上的一動點,過點P作圓M的切線PA、PB,切點為A、B.
(1)當切線PA的長度為2 時,求點P的坐標;
(2)若△PAM的外接圓為圓N,試問:當P運動時,圓N是否過定點?若存在,求出所有的定點的坐標;若不存在,說明理由;
(3)求線段AB長度的最小值.
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【題目】在如圖所示的圓錐中,OP是圓錐的高,AB是底面圓的直徑,點C是弧AB的中點,E是線段AC的中點,D是線段PB的中點,且PO=2,OB=1.
(1)試在PB上確定一點F,使得EF∥面COD,并說明理由;
(2)求點A到面COD的距離.
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