Question

【題目】已知圓M：x2+（y﹣4）2=4，點(diǎn)P是直線l：x﹣2y=0上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B．
（1）當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為2 時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若△PAM的外接圓為圓N，試問(wèn)：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）求線段AB長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題可知，圓M的半徑r=2，設(shè)P（2b，b），

因?yàn)镻A是圓M的一條切線，所以∠MAP=90°，

所以MP= ，解得

所以

（2）解：設(shè)P（2b，b），因?yàn)椤螹AP=90°，所以經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，

其方程為：

即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0

由 ，

解得 或 ，所以圓過(guò)定點(diǎn)

（3）解：因?yàn)閳AN方程為（x﹣b）2+（y﹣ ）2=

即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0…①

圓M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②

②﹣①得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0

點(diǎn)M到直線AB的距離

相交弦長(zhǎng)即：

當(dāng) 時(shí)，AB有最小值

【解析】（1）因?yàn)镻A是圓M的一條切線，所以∠MAP=90°，所以MP= ，即可點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)P（2b，b），因?yàn)椤螹AP=90°，所以經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，其方程為： ，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，即可得出結(jié)論；（3）求出點(diǎn)M到直線AB的距離，利用勾股定理，即可求線段AB長(zhǎng)度的最小值．