解:(1)求導函數(shù)可得
,g(x)=2a
2x+a
∵曲線y=f(x)和y=g(x)在點P,Q處的切線平行
∴f′(1)=g′(1)
∴2=2a
2+a且a>0
∴
;
(2)對于任意的x∈(0,+∞),
恒成立,即
∴m≤(
)
min.
設F(x)=
,則F′(x)=
當x∈(0,2)時,F(xiàn)′(x)<0,∴F(x)在(0,2)上單調遞減;當x∈(2,+∞)時,F(xiàn)′(x)>0,∴F(x)在(2,+∞)上單調遞增
∴F(x)
min=F(2)=
∴m的最大值為
;
(3)由(2)可知a=1,故g(x)=x
2+x+1在x∈[1,e]時,g(x)
min=g(1)=3
∴h(x)=f(x)-kf′(x)=2lnx-
在x∈[1,e]時最小值為3
令h′(x)=
,可得x=-k
①當-k≤1,即k≥-1時,h′(x)≥0,此時h(x)在[1,e]上單調遞增,∴h(x)
min=h(1)=-2k=3,∴k=-
(舍去);
②當-k≥e,即k≤-e時,h′(x)≤0,此時h(x)在[1,e]上單調遞減,∴h(x)
min=h(e)=2-
=3,∴k=-
(舍去);
③當1<-k<e,即-e<k<-1時,x∈(1,-k)時,h′(x)<0,此時h(x)在[1,-k)上單調遞減,x∈(-k,e)時,h′(x)>0,此時h(x)在[1,-k)上單調遞增,∴h(x)
min=h(-k)=2ln(-k)+2=3,∴k=-
;
綜上可知,k=-
.
分析:(1)求導函數(shù),利用曲線y=f(x)和y=g(x)在點P,Q處的切線平行,可得f′(1)=g′(1),從而可求a的值;
(2)對于任意的x∈(0,+∞),
恒成立,即
,從而m≤(
)
min.構建函數(shù),確定函數(shù)的最小值,即可求得m的最大值;
(3)先求在x∈[1,e]時,g(x)
min=g(1)=3,從而h(x)=f(x)-kf′(x)=2lnx-
在x∈[1,e]時最小值為3,求導數(shù),利用分類討論,確定函數(shù)的單調性與最值,從而可得結論.
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調性與最值,考查分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.