Question

已知雙曲線的中心在原點，一條漸近線方程為y=

2

3

x，焦點在坐標軸上，兩準線之間的距離為

18 13

13

，求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：由雙曲線的漸近線方程為y=

2

3

x，可設雙曲線方程為

x2

9

-

y2

4

=λ(λ≠0)，當λ＞0時，

x2

9λ

-

y2

4λ

=1，焦點在x軸上，當λ＜0時，方程為

y2

-4λ

-

x2

-9λ

=1，利用已知準線之間的距離為

18 13

13

，可求λ，進而可求雙曲線的方程

解答：解：∵雙曲線的漸近線方程為y=

2

3

x，由題意可設
∴設雙曲線方程為

x2

9

-

y2

4

=λ(λ≠0)
當λ＞0時，

x2

9λ

-

y2

4λ

=1，焦點在x軸上，
∴

9λ

13λ

×2=

18 13

13

，
∴λ=1，
∴雙曲線方程為

x2

9

-

y2

4

=1
當λ＜0時，方程為

y2

-4λ

-

x2

-9λ

=1，
∴

-4λ

-13λ

×2=

18 13

13

，
∴λ=-

81

16

∴方程為

4y2

81

-

16x2

729

=1
綜上所述，雙曲線方程為

x2

9

-

y2

4

=1或

4y2

81

-

16x2

729

=1．

點評：本題主要考查了利用雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的漸近線方程設雙曲線方程，此種設法避免討論焦點的位置．