Question

對于定義域為[0，1]的函數(shù)f（x），如果同時滿足以下三條：①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否為理想函數(shù)，并予以證明；
（3）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，假定?x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f（f（x₀））=x₀，求證f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（1）取x₁=x₂=0可得f（0）≥f（0）+f（0）?f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．
（2）g（x）=2^x-1在[0，1]滿足條件①g（x）≥0，也滿足條件②g（1）=1．若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，滿足條件③，收此知故g（x）理想函數(shù)．
（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能夠推導出f（x₀）=x₀．

解答：解：（1）取x₁=x₂=0可得f（0）≥f（0）+f（0）?f（0）≤0．（1分）
又由條件①f（0）≥0，故f（0）=0．（3分）
（2）顯然g（x）=2^x-1在[0，1]滿足條件①g（x）≥0；（4分）
也滿足條件②g（1）=1．（5分）
若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
則g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)]=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x2-1)(2x1-1)≥0，即滿足條件③，（8分）
故g（x）理想函數(shù)．（9分）
（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．（11分）
若x₀＜f（x₀），則f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；（13分）
若x₀＞f（x₀），則f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．（15分）
故x₀=f（x₀）．（16分）

點評：本題考查函數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設的中的隱含條件，注意性質的靈活運用．