Question

15．已知函數(shù)f（x）=（x-a）²lnx（a為常數(shù)）．
（Ⅰ）a=0時，比較f（x）與x（x-1）的大小；
（Ⅱ）如果0＜a＜1，證明f（x）在（a，1）上有唯一極小值點．

Answer 1

分析 （1）先通過特殊值，比較兩數(shù)的大小，再猜想，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和最值比較大��；
（2）利用用導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)在（a，1）上正負(fù)性，判斷f（x）在（a，1）上的單調(diào)性．

解答 解；（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=x²lnx，
f（1）=0，f（e）=e²＞e（e-1），猜想f（x）≥x（x-1），下面證明
f（x）-x（x-1）=x²lnx-x（x-1）≥0，?$lnx≥\frac{x-1}{x}$，定義域為（0，+∞）
令g（x）=$lnx-\frac{x-1}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥x（x-1）；
（Ⅱ）f′（x）=$（x-a）（2lnx+1-\frac{a}{x}）$，令h（x）=$2lnx+1-\frac{a}{x}$
∴${h}^{′}（x）=\frac{2}{x}+\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，即h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（a）=2lna＜0，h（1）=1-a＞0，存在唯一x₀∈（a，1），使h（x₀）=0，
當(dāng)0＜x＜x₀時，h（x）＜0，當(dāng)x＞x₀時，h（x）＞0
于是0＜x＜a時，f′（x）＞0；a＜x＜x₀時，f′（x）＜0，x＞x₀時，f′（x）＞0
即f（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，在（a，x₀）上遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，從而在（x₀，1）上單調(diào)遞增，
故f（x）在（a，1）上唯一極小值點．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的運用，運用了等價轉(zhuǎn)化，分類討論思想，是一道導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題．屬于難題．