Question

10．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-x²．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，k]（k＞0）上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程；
（2）求出導數(shù)，令導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）求出導數(shù)，由單調(diào)區(qū)間，討論k的范圍，當0＜k≤ln2時，當ln2＜k≤1時，當k＞1時，通過單調(diào)區(qū)間，即可得到最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-x²的導數(shù)為f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=xe^x-2x，
則在點（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=e-2，
切點為（1，-1），則切線方程為y+1=（e-2）（x-1），
即為（e-2）x-y-e+1=0；
（2）函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-x²的導數(shù)為f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=xe^x-2x，
由f′（x）=0，解得x=ln2或x=0，
當x＞ln2或x＜0時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當0＜x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（ln2，+∞）；減區(qū)間為（0，ln2）；
（3）由（2）得當0＜k≤ln2，f（x）在[0，k]遞減，即有f（0）取得最大，且為-1；
當k＞ln2時，f（x）在[0，ln2）遞減，在[ln2，k]遞增，
由f（k）-f（0）=（k-1）（e^k-k-1），且g（x）=e^x-x-1的導數(shù)為g′（x）=e^x-1，
易得g（x）的最小值為g（0）=0，即有e^x-x-1≥0，
當ln2＜k≤1時，f（k）≤f（0），即有f（0）取得最大，且為-1；
當k＞1時，f（k）＞f（0），即有f（k）取得最大值，且為（k-1）e^k-k²．
綜上可得，當0＜k≤1時，f（x）的最大值為-1；
當k＞1時，f（x）的最大值為（k-1）e^k-k²．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導數(shù)的幾何意義和單調(diào)性的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．