如圖,等邊三角形OAB的邊長為8,且其三個頂點均在拋物線E:x2=2py

(p>0)上.

(1)求拋物線E的方程;

(2)設動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y=-1相交于點Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.


 (1)解:依題意,|OB|=8,∠BOy=30°.

設B(x,y),則x=|OB|sin 30°=4,

y=|OB|cos 30°=12.

因為點B(4,12)在x2=2py上,

所以(4)2=2p×12,解得p=2.

故拋物線E的方程為x2=4y.

(2)證明:由(1)知y=x2,y′=x.

設P(x0,y0),則x0≠0,y0=,且l的方程為

y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.

由得

所以Q為.

設M(0,y1),令·=0對滿足y0=(x0≠0)的x0,y0恒成立.

由于=(x0,y0-y1), =,

由·=0,

得-y0-y0y1+y1+=0,

即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)

由于(*)式對滿足y0=(x0≠0)的y0恒成立,

所以

解得y1=1.

故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1).


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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)=則該函數(shù)是(　　)

(A)偶函數(shù),且單調遞增    (B)偶函數(shù),且單調遞減

(C)奇函數(shù),且單調遞增    (D)奇函數(shù),且單調遞減

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設α∈{-1,1,,3},則使函數(shù)y=xα的定義域為R且為奇函數(shù)的所有α值為(　　)

(A)1,3  (B)-1,1

(C)-1,3 (D)-1,1,3

解

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設M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點,F為拋物線C的焦點,以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交,則y0的取值范圍是(　　)

(A)(0,2)         (B)[0,2]

(C)(2,+∞)  (D)[2,+∞)

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 (2009年大綱全國卷Ⅱ,文11)已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A、B兩點,F為C的焦點,若|FA|=2|FB|,則k等于(　　)

(A)   (B) (C)  (D)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F與雙曲線-=1的右焦點重合,拋物線的準線與x軸的交點為K,點A在拋物線上且|AK|=|AF|,則A點的橫坐標為(　　)

(A)2   (B)3  (C)2    (D)4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


設動點P(x,y)(x≥0)到定點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大.記點P的軌跡為曲線C.

(1)求點P的軌跡方程;

(2)設圓M過A(1,0),且圓心M在P的軌跡上,BD是圓M在y軸上截得的弦,當M運動時弦長BD是否為定值?說明理由;

(3)過F作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S,求四邊形GRHS面積的最小值.

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“x>0”是“x+≥2”的(　　)

(A)充分但不必要條件

(B)必要但不充分條件

(C)充分且必要條件

(D)既不充分也不必要條件

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設a,b,c,d∈(0,+∞),若a+d=b+c且|a-d|<|b-c|,則有(　　)

(A)ad=bc    (B)ad<bc

(C)ad>bc    (D)ad≤bc

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