Question

（2013•西城區(qū)一模）在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求BC與平面EAC所成角的正弦值；
（Ⅲ）線段ED上是否存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又AC⊥FB，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）通過建立空間直角坐標系，利用

CB

與平面ACE的法向量

n

所成的角即可得出；
（Ⅲ）分別求出兩個平面的法向量

m

，

n

，若此兩個平面垂直，則必有

m

•

n

=0有解，否則兩個平面不垂直．

解答：（Ⅰ）證明：不妨設BC=1，
∵AB=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理可得 AC²=2²+1²-2×2×1×cos60°=3，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，CB∩BF=B，
∴AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．
∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD．
∴CA，CF，CB兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標系C-xyz．
在等腰梯形ABCD中，可得 CB=CD．
設BC=1，所以C(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，E(

3

2

，-

1

2

，1)．
∴

CE

=(

3

2

，-

1

2

，1)，

CA

=(

3

，0，0)，

CB

=(0，1，0)．
設平面EAC的法向量為n=（x，y，z），則有

n• CE =0 n• CA =0.

∴

3 2 x- 1 2 y+z=0 3 x=0.

取z=1，得n=（0，2，1）．
設BC與平面EAC所成的角為θ，則sinθ=|cos＜

CB

，

n

＞|=

| CB • n |

| CB | | n |

=

2 5

5

．
所以 BC與平面EAC所成角的正弦值為

2 5

5

．
（Ⅲ）解：線段ED上不存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC．證明如下：
假設線段ED上存在點Q，設 Q(

3

2

，-

1

2

，t)（0≤t≤1），所以

CQ

=(

3

2

，-

1

2

，t)．
設平面QBC的法向量為

m

=（a，b，c），則有

m • CB =0 m • CQ =0

，
所以 

b=0 3 2 a- 1 2 b+tc=0.

取 c=1，得

m

=(-

2

3

t，0，1)．
要使平面EAC⊥平面QBC，只需

m

•

n

=0，
即 -

2

3

t×0+0×2+1×1=0，此方程無解．
所以線段ED上不存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系并利用平面的法向量表示線面角和二面角公式、余弦定理和勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理是解題的關鍵．