Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$的定義域為[-3，3]．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義給出證明；
（2）若實數(shù)m滿足f（m-1）＜f（1-2m），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）在[-3，3]上單調(diào)遞增，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及增函數(shù)的定義，可證得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性和定義域，可將原不等式化為：$\left\{{\begin{array}{l}{-3≤m-1≤3}\\{-3≤1-2m≤3}\\{m-1＜1-2m}\end{array}}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在[-3，3]上單調(diào)遞增；            …（2分）
下面證明：設(shè)x₁，x₂是[-3，3]上的任意兩個值，且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{2^{x_1}}-1}}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{{{2^{x_2}}-1}}{{{2^{x_2}}+1}}=（1-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}）-（1-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}）=\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$…（6分）
因為-3≤x₁＜x₂≤3，
所以${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，又{2^{x_1}}+1＞0，{2^{x_2}}+1＞0$，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[-3，3]上是單調(diào)增函數(shù)．  …（10分）
（2）由（1）知f（x）在[-3，3]上為增函數(shù)
∴f（m-1）＜f（1-2m）等價于：$\left\{{\begin{array}{l}{-3≤m-1≤3}\\{-3≤1-2m≤3}\\{m-1＜1-2m}\end{array}}\right.$，…（14分）
∴$m∈[{-1，\frac{2}{3}}）$
即解集為$[{-1，\frac{2}{3}}）$…（16分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷，證明，與應(yīng)用，是函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，難度中檔．