Question

在周長(zhǎng)為48的直角三角形MPN中，∠MPN=90°，tanPMN=，求以M、N為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P的雙曲線方程．

Answer 1

思路分析：首先應(yīng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．由于M,N為焦點(diǎn)，所以如圖建立直角坐標(biāo)系，可知雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程．由雙曲線定義可知|PM|-|PN|=2a，|MN|=2c,所以利用條件確定△MPN的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵．

解：∵△MPN的周長(zhǎng)為48，且tanPMN=,

∴設(shè)|PN|=3k，|PM|=4k，則|MN|=5k．

    由3k+4k+5k=48，得k=4．∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20．

    以MN所在直線為x軸，以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè)所求雙曲線方程為=1（a＞0,b＞0）．

    由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a²=4．

    由|MN|=20，得2c=20,c=10．

    由b²=c²-a²=96，得所求雙曲線方程為=1．

方法歸納 坐標(biāo)系的選取不同，則曲線的方程不同，但雙曲線的形狀不會(huì)變．解題中，注意合理選取坐標(biāo)系，這樣能使求曲線的方程更簡(jiǎn)捷．