Question

正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，其中線段AB∥平面α，E，F(xiàn)分別是線段AD和BC的中點(diǎn)，當(dāng)正四面體繞以AB為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段EF在平面α上的射影E₁F₁長(zhǎng)的范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：取AC中點(diǎn)為G，連接EG、FG，根據(jù)四面體繞AB旋轉(zhuǎn)時(shí)，GF∥平面α，GE與GF的垂直性保持不變，
當(dāng)CD與平面α垂直時(shí)射影E₁F₁的長(zhǎng)取得最小，當(dāng)CD與平面α平行時(shí)，E₁F₁取得最大，分別求出最大、最小值，可得答案．

解答： 解：如圖，取AC中點(diǎn)為G，連接EG、FG，
∵E，F(xiàn)分別是線段AD和BC的中點(diǎn)，∴GF∥AB，GE∥CD，在正四面體中，AB⊥CD，∴GE⊥GF，
∴EF²=GE²+GF²=

2

2

，當(dāng)四面體繞AB旋轉(zhuǎn)時(shí)，
∵GF∥平面α，GE與GF的垂直性保持不變，
當(dāng)CD與平面α垂直時(shí)，GE在平面上的射影長(zhǎng)最短為0，此時(shí)EF在平面α上的射影E₁F₁的長(zhǎng)取得最小值

1

2

；
當(dāng)CD與平面α平行時(shí)，GE在平面上的射影長(zhǎng)最長(zhǎng)為

1

2

，E₁F₁取得最大值

2

2

，
∴射影E₁F₁長(zhǎng)的取值范圍是[

1

2

，

2

2

]，
故答案為：[

1

2

，

2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題借助考查線段在平面內(nèi)的射影問題，考查空間直線與直線位置關(guān)系的判定，考查了學(xué)生的空間想象能力，