Question

如圖，在三棱錐-P-ABCD中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=，∠ABC=∠APC=90°，
（1）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（2）若動(dòng)點(diǎn)M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值為，求BM的最小值。

Answer 1

解：（1）取AC中點(diǎn)O，因?yàn)锳B=BC， 所以O(shè)B⊥OC， ∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC=AC， ∴OB⊥平面PAC， ∴OB⊥OP， 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP分別為 x、y、z軸 建立如圖 所示空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)锳B=BC=PA=， 所以O(shè)B=OC=OP=1， 從而O（0，0，0），B（1，0，0）， A（0，-1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）， ∴， 設(shè)平面PBC的法向量， 由得方程組， 取， ∴， ∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為。 （2）由題意平面PAC的法向量， 設(shè)平面PAM的法向量為， ∵， 又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120314/201203141129428261139.gif">， ∴， 取， ， ∴， ∴n+1=3m或n+1=-3m（舍去）， ∴B點(diǎn)到AM的最小值為垂直距離。