Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

【解析】

（1）由e，b＝1，又a2＝b2+c2，即可求出橢圓的方程；

（2）設(shè)l：y＝kx+m，聯(lián)立橢圓方程，由此利用韋達(dá)定理、直線方程，結(jié)合已知條件可得（k2+1）x1x2+（km﹣k）（x1+x2）+m2﹣2m+1＝0（k2+1）（4m2﹣4）﹣（km﹣k）8km+（m2﹣2m+1）（1+4k2）＝0，化簡(jiǎn)整理能證明直線l過(guò)定點(diǎn)．

解：（1）∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其離心率為．

∴，，∴．

∴

故橢圓的方程為：；

（2）依題意直線的斜率存在，設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程為：，，，

由得，

．

，．

，．

．

，

，或，

∵直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴．

此時(shí)，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)