Question

有以下四個(gè)命題：
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件；
②若命題P：?x∈R，sinx≤1，則?P：?x∈R，sinx＜1，
③不等式10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立；
④設(shè)有四個(gè)函數(shù)y=x-1，y=x

1

2

，y=x2，y=x3其中在（0，+∝）上是增函數(shù)的函數(shù)有3個(gè)．
其中真命題的序號(hào)

①③④

．

Answer 1

分析：①△ABC中，“A＞B”等價(jià)于“a＞b“，等價(jià)于“sinA＞sinB”；
②根據(jù)命題的否定的定義，可知②為假命題；
③構(gòu)建函數(shù)f（x）=10^x-x²，在（0，+∞）上為增函數(shù)，故③為真命題；
④在（0，+∞）上是增函數(shù)的函數(shù)為y=x

1

2

，y=x2，y=x3，故可得結(jié)論．

解答：解：①△ABC中，“A＞B”等價(jià)于“a＞b“，等價(jià)于“sinA＞sinB”，故①為真命題；
②根據(jù)命題的否定的定義，可知：若命題P：?x∈R，sinx≤1，則￢P：?x∈R，sinx＞1，故②為假命題；
③構(gòu)建函數(shù)f（x）=10^x-x²，設(shè)g（x）=f′（x）=10^xln10-2x，h（x）=g′（x）=10^xln²10-2，h′（x）=10^xln³10＞0
∴h（x）是增函數(shù)，h（x）≥h（0）＞0，由此知g（x）=f′（x）是增函數(shù)，可得g（x）=f′（x）＞f′（0）＞0
∴f（x）=10^x-x²在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以不等式10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立，故③為真命題；
④設(shè)有四個(gè)函數(shù)y=x-1，y=x

1

2

，y=x2，y=x3，其中在（0，+∞）上是增函數(shù)的函數(shù)為y=x

1

2

，y=x2，y=x3，所以有3個(gè)，故④為真命題．
故正確命題為：①③④
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題為載體，考查命題真假的判斷，考查函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)需要一一判斷，綜合性強(qiáng)．