Question

16、如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是棱AB、CC₁的中點(diǎn)，△MB₁P的頂點(diǎn)P在棱CC₁與棱C₁D₁上運(yùn)動(dòng)，有以下四個(gè)命題：
①平面MB₁P⊥ND₁；②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁；③△MB₁P在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值；④△MB₁P在側(cè)面D₁C₁CD上的射影圖形是三角形．
其中正確命題的序號(hào)是

②③

．

Answer 1

分析：由正方體的幾何性質(zhì)對(duì)四個(gè)命題時(shí)行判斷，戡別正誤，
①平面MB₁P⊥ND₁；可用極限位置判斷，
②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁；可以證明MB₁⊥平面ND₁A₁
③△MB₁P在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值，可以看到其投影三角形底邊是MB，再由點(diǎn)P在底面上的投影到MB的距離不變即可證得
④△MB₁P在側(cè)面D₁C₁CD上的射影圖形是三角形，由圖形判斷即可．

解答：解：①平面MB₁P⊥ND₁；可用極限位置判斷，當(dāng)P與N重合時(shí)，MB₁P⊥ND₁垂直不成立，故線面不可能垂直，此命題是錯(cuò)誤命題；
②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁；可以證明MB₁⊥平面ND₁A₁，由圖形知MB₁與ND₁和D₁A₁都垂直，故可證得MB₁⊥平面ND₁A₁，進(jìn)而可得平面MB₁P⊥平面ND₁A₁，故是正確命題；
③△MB₁P在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值，可以看到其投影三角形底邊是MB，再由點(diǎn)P在底面上的投影在DC上，故其到MB的距離不變即可證得；
④△MB₁P在側(cè)面D₁C₁CD上的射影圖形是三角形，由于P與C₁重合時(shí)，P、B₁兩點(diǎn)的投影重合，不能構(gòu)成三角形，故命題錯(cuò)誤．
綜上②③正確
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面之間的位置關(guān)系以及投影的概念，求解本題的關(guān)鍵是對(duì)正方體中的點(diǎn)線面關(guān)系有比較透徹的了解．對(duì)其中的空間位置比較熟悉，則判斷較易．