Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）若在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，求的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，求證：在時(shí)， .

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)減區(qū)間為.單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)減區(qū)間為；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先求出，通過(guò)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，可得，解得；（2）由（1）知： ，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分①、②兩種情況討論分別令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；；（3）通過(guò)變形，只需證明即可，利用，根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)判定定理即得到結(jié)論.

試題解析：（1）若在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，

，

得.

（2）由

當(dāng)時(shí)，令解得：

當(dāng)變化時(shí)， 隨變化情況如表：

由表可知： 在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)

當(dāng)時(shí)， ， 的單調(diào)減區(qū)間為

所以，當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)減區(qū)間為.單調(diào)增區(qū)間為

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)減區(qū)間為

（3）當(dāng)時(shí)，要證，即證

令，只需證

∵

由指數(shù)函數(shù)及幕函數(shù)的性質(zhì)知： 在上是增函數(shù)

∵，∴在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，

也即在上有唯一零點(diǎn)

設(shè)的零點(diǎn)為，則，即，

由的單調(diào)性知：

當(dāng)時(shí)， ， 為減函數(shù)

當(dāng)時(shí)， ， 為增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí).

∴.