Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0且f（2）=6．
（1）求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）在區(qū)間[-4，4]上，求f（x）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，即可證得f（x）為奇函數(shù)；
（2）設(shè)?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0，即有f（x₂）-f（x₁）＞0，由定義即可得證；
（3）求出f（4）=12，f（-4）=-12，再由（2）的單調(diào)性，即可得到最值．

解答： （1）證明：∵?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）
即f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；                                
（2）證明：設(shè)?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
則 f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
又∵當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)                             
（3）解∵函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上也是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的最大值為f（4），最小值為f（-4）
∵f（2）=6
∴f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）=12，
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-4）=-f（4）=-12，
故函數(shù)f（x）的最大值為12，最小值為-12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于基礎(chǔ)題．