Question

求函數f（x）=xe^x的單調區(qū)間和極值．

Answer 1

分析：求出函數的導函數，由導函數等于0求出x的值，以求出的x的值為分界點把原函數的定義域分段，以表格的形式列出導函數在各區(qū)間段內的符號及原函數的增減性，從而得到函數的單調區(qū)間及極值點，把極值點的坐標代入原函數求極值．

解答：解：∵函數f（x）=xe^x的定義域為R，
f'（x）=（xe^x）^′=x^′e^x+x（e^x）^′=e^x+xe^x
令f'（x）=e^x+xe^x=e^x（1+x）=0，解得：x=-1．
列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

由表可知函數f（x）=xe^x的單調遞減區(qū)間為（-∞，-1），單調遞增區(qū)間為（-1，+∞）．
當x=-1時，函數f（x）=xe^x的極小值為f(-1)=-

1

e

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性與極值，在求出導函數等于0的x值后，借助于表格分析能使解題思路更加清晰，此題是中檔題．