Question

6．如圖，已知圓O：x²+y²=4與軸正半軸交于點P，A（-1，0），B（1，0），直線l與圓O切于點S（l不垂直于x軸），拋物線過兩點A，B且以l為準線．
 （1）當點S在圓周上運動時，求證：拋物線的焦點Q始終在某一橢圓C上，并求出該橢圓C的方程；
（2）設M．N是（1）中橢圓C上除短軸端點外的不同兩點，且$\overrightarrow{PM}$=t$\overrightarrow{PN}$（t∈R），問：△MON的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設Q（x，y），作AA′，BB′垂直于直線l，A′，B′為垂足，連結AQ，BQ，OS，則OS⊥l，由橢圓的定義知焦點Q在以AB為焦點的橢圓上，由此能求出拋物線的焦點Q的軌跡方程；
（2）由已知P，M，N三點共線，設直線PN的方程為y=kx+2，代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式、均值定理，能求出△MON的面積的最大值．

解答 解：（1）設Q（x，y），如圖，
作AA′，BB′垂直于直線l，A′，B′為垂足，
連結AQ，BQ，OS，則OS⊥l，
∵OS是直角梯形AA′B′B的中位線，
∴|AA′|+|BB′|=2|OS|，
由拋物線的定義知|AA′|=|AQ|，|BB′|=|BQ|，
∵|QA|+|QB|=|AA′|+|BB′|=2|OS|=4＞2=|AB|，
由橢圓的定義知焦點Q在以AB為焦點的橢圓上，
且2a=4，2c=2，∴b²=3，
∴拋物線的焦點Q的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（去掉與x軸的交點）．
（2）∵$\overrightarrow{PM}$=t$\overrightarrow{PN}$（t∈R），
∴P，M，N三點共線，
由題意，直線PN的斜率存在，設直線PN的方程為y=kx+2，
代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
由△=（16k）²-16（3+4k²）＞0，得|k|＞$\frac{1}{2}$，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-1}}{3+4{k}^{2}}$，
原點O到直線PN的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$|MN|•d=4$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-1}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4{k}^{2}-1}+\frac{4}{\sqrt{4{k}^{2}-1}}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{\sqrt{4{k}^{2}-1}•\frac{4}{\sqrt{4{k}^{2}-1}}}}$=$\sqrt{3}$，
當且僅當$\sqrt{4{k}^{2}-1}$=$\frac{4}{\sqrt{4{k}^{2}-1}}$，即k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，取等號．
∴△MON的面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查拋物線的方程與性質、橢圓的標準方程與性質、直線與圓錐曲線的關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想、特殊與一般思想．