Question

7．已知x∈R，y＞0，集合A={x²+x+1，-x，-x-1}，B={-y，-$\frac{y}{2}$，y+1}，若A=B，則x²+y²的值為5．

Answer 1

分析 根據(jù)集合A中元素x²+x+1恒大與0，而集合B中元素只有y+1＞0，說明A中的-x，-x-1有可能與B中的-y，-$\frac{y}{2}$分別相等，分類討論后有一種情況與題意不符，只有另外一種情況，求出此時x和y的值，則x²+y²的值可求．

解答 解：由A={x²+x+1，-x，-x-1}，B={-y，-$\frac{y}{2}$，y+1}，且A=B，
因為x²+x+1=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0，且-y＜0，-$\frac{y}{2}$＜0．
所以只有x²+x+1=y+1．
若$\left\{\begin{array}{l}{-x=-y}\\{-x-1=-\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，解得x=y=-2，與y∈R⁺不符．
若$\left\{\begin{array}{l}{-x=-\frac{y}{2}}\\{-x-1=-y}\end{array}\right.$，解得x=1，y=2；
代入集合A，B中驗證滿足集合元素的互異性．
此時x²+y²=1²+2²=5，
故答案為：5．

點評 本題考查了集合相等的概念，考查了集合中元素的特性，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，是基礎題．