Question

12．已知集合A={x|ax²+3x+1=0，x∈R}．
（1）A中只有一個元素，求a的取值范圍；
（2）若A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）集合的屬性是一個關(guān)于x的方程，且二次項的系數(shù)是字母，故A中只有一個元素時要考慮二次項系數(shù)為0的情況，此題應(yīng)分為兩類求解，當(dāng)a=0時與當(dāng)a≠0時，分別轉(zhuǎn)化求出求a的值；
（2）A中至多有一個元素，限制詞中的至多說明A可能只有一個元素或者沒有元素，故分為兩類求解，由（1）知A中只有一個元素時參數(shù)的取值范圍，再求出A為空集時參數(shù)的取值范圍，取兩部分的并集即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，A={x|3x+1=0}={-$\frac{1}{3}$}，符合條件；
當(dāng)a≠0時，方程ax²+3x+1=0為一元二次方程，要使A中只有一個元素，
則方程ax²+3x+1=0只有一個實數(shù)解，所以△=9-4a=0⇒a=$\frac{9}{4}$．
所以，a的值為0或$\frac{9}{4}$．
（2）若A中至多只有一個元素，則A中只有一個元素，或A=∅．
由（1）知：若A中只有一個元素，a的值為0或$\frac{9}{4}$；
若A=∅，則方程ax²+2x+1=0無實數(shù)解，所以△=9-4a＜0⇒a＞$\frac{9}{4}$．
所以，a≥$\frac{9}{4}$或a=0．

點評 本題考查集合中的參數(shù)取值問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問題進行正確轉(zhuǎn)化，此類題易因為理解不全面，漏掉特殊情況致錯，（1）中易漏掉a=0時的情況，（2）中易漏掉空集這種情況，解題時要注意考慮全面，本題考查了推理判斷的能力及計算能力，是集合中綜合性較強的題，即考查了集合的概念，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．