Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$kx²-2x+2，f′（x）是的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求f′（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若k=1，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，f'（x）=e^x-kx-2，設(shè)g（x）=f'（x），則有g(shù)'（x）=e^x-k；再對(duì)k分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）若k=1，由（I）知g（x）在（0，+∞）上遞增，存在x₀∈（1，2），使得g（x₀）=0；

解答 解：（I）f'（x）=e^x-kx-2，設(shè)g（x）=f'（x），則有g(shù)'（x）=e^x-k；
①當(dāng)k≤0時(shí)，g'（x）＞0；
②當(dāng)k＞0時(shí)，由g'（x）＞0得，x＞lnk；
由g'（x）＜0得，x＜lnk．
當(dāng)k≤0時(shí)，f'（x）的遞增區(qū)間為R；
當(dāng)k＞0時(shí)，f'（x）的遞增區(qū)間為（lnk，+∞），遞減區(qū)間為（-∞，lnk）．
（II）證明：若k=1，由（I）知g（x）在（0，+∞）上遞增，
g（1）=e-3＜0，g（2）=e²-4＞0，
∴存在x₀∈（1，2），使得g（x₀）=0；
且當(dāng)x＞x₀，g（x）＞0，當(dāng)x＜x₀時(shí)，g（x）＜0；
∴f（x）的遞增區(qū)間為（x₀，+∞），遞減區(qū)間為（0，x₀），
∴f（x）≥f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}-\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}-2{x}_{0}+2$；
由g（x₀）=0得${e}^{{x}_{0}}$=x₀+2，∴f（x₀）=-$\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}-{x}_{0}+4$
由x₀∈（1，2）得f（x₀）＞0，
∴f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，以及分類討論思想應(yīng)用，屬中等題．