Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，點A在曲線$C：y={（{\frac{3}{2}}）^x}$上運動，在x軸正半軸取點B，作正三角形OAB，這樣的正三角形有（　�。�

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 設(shè)（a，${（\frac{3}{2}）}^{a}$）是曲線$C：y={（\frac{3}{2}）}^{x}$上一點，則直線OC的斜率k=$\frac{（\frac{3}{2}）^{a}}{a}$，利用導(dǎo)數(shù)法求出k的最值，可得答案．

解答 解：設(shè)（a，${（\frac{3}{2}）}^{a}$）是曲線$C：y={（\frac{3}{2}）}^{x}$上一點，
則直線OC的斜率k=$\frac{（\frac{3}{2}）^{a}}{a}$，
則k′=$\frac{{（ln\frac{3}{2}•a-1）•（\frac{3}{2}）}^{a}}{{a}^{2}}$，
令k′=0，則a=${log}_{\frac{3}{2}}e$，
當(dāng)a＜${log}_{\frac{3}{2}}e$時，k′＜0，當(dāng)a＞${log}_{\frac{3}{2}}e$時，k′＞0，
故a=${log}_{\frac{3}{2}}e$時，k=$\frac{（\frac{3}{2}）^{a}}{a}$取最小值值e•ln$\frac{3}{2}$，
由e•ln$\frac{3}{2}$$≥\sqrt{3}$可得：
∠BOA＞$\frac{π}{3}$恒成立，
故不存在這樣的正三角形，
故選：A．

點評 本題考查的知識點是直線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，難度中檔．