Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）單調(diào)遞減，若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₃＜0，則f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）的值（ ）
A．恒為正數(shù)
B．恒為負(fù)數(shù)
C．恒為0
D．可正可負(fù)

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)知a₂+a₄=2a₃＜0，a₁+a₅=2a₃＜0，x≥0，f（x）單調(diào)遞減，所以在R上，f（x）都單調(diào)遞減，因?yàn)閒（0）=0，所以x≥0時，f（x）＜0，x＜0時，f（x）＞0，由此能夠?qū)С觯╝₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）的值恒為正數(shù)．
解答：解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
且當(dāng)x≥0時，f（x）單調(diào)遞減，
數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₃＜0，
∴a₂+a₄=2a₃＜0，
a₁+a₅=2a₃＜0，
x≥0，f（x）單調(diào)遞減，
所以在R上，f（x）都單調(diào)遞減，
因?yàn)閒（0）=0，
所以x≥0時，
f（x）＜0，x＜0時，f（x）＞0，
∴f（a₃）＞0
∴f（a₁）+f（a₅）＞0，
∴f（a₂）+f（a₄）＞0．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．