已知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102512221801562312/SYS201210251224102500595847_ST.files/image002.png">,且恒有等式對任意的實(shí)

數(shù)成立.

(Ⅰ)試求的解析式;

(Ⅱ)討論上的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義予以證明.

 

【答案】

(Ⅰ)f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3

(Ⅱ)函數(shù)在R上為減函數(shù),證明見解析。

【解析】本試題主要是考查了求解函數(shù)的解析式,以及函數(shù)單調(diào)性的證明。

(1)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102512221801562312/SYS201210251224102500595847_DA.files/image002.png">,且恒有等式對任意的實(shí)數(shù)成立.,那么可以得到方程組,消元法得到結(jié)論。

(2)設(shè)出變量,運(yùn)用定義法證明單調(diào)性。

解:

1、2f(x)+f(-x)+2^x=0    …………1

2f(-x)+f(x)+2^(-x)=0    …………2

1式X2-2式得:

3f(x)+2^(x+1)-2^(-x)=0

即:f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3

2、設(shè)x1<x2 可得:

f(x1)-f(x2)

=[2^(-x1)-2^(x1+1)]/3-[2^(-x2)-2^(x2+1)]/3

=[2^(-x1)-2^(-x2)]/3+[2^(x2+1)-2^(x1+1)]/3

因:x1<x2 所以有:-x1>-x2 ,x1+1<x2+1

所以:2^(-x1)>2^(-x2)

2^(x2+1)>2^(x1+1)

即:f(x1)-f(x2)>0

所以此函數(shù)在R上為減函數(shù)!

 

練習(xí)冊系列答案
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(15分)已知是定義域?yàn)?B>R 且恒不為零的函數(shù),對于任意的實(shí)數(shù)x,y 都滿足:。(1)求的值;(2)設(shè)當(dāng)x< 0 時(shí),都有  ,判斷函數(shù)在() 上的單調(diào)性,并加以證明.

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已知函數(shù)的定義域?yàn)?img width=16 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/104/145504.gif" >,且對任意,都有,且當(dāng)時(shí),恒成立,

證明:(1)函數(shù)上的減函數(shù);

(2)函數(shù)是奇函數(shù)。

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(本小題滿分12分)

已知函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011315362485521742/SYS201301131537007927245426_ST.files/image002.png">,若對于任意的,都有,且時(shí),有.

(1)求證: 為奇函數(shù);

(2)求證: 上為單調(diào)遞增函數(shù);

(3)設(shè),若<,對所有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

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(1)試求函數(shù)的最大值和最小值;

(2)試比較的大小N);

(3)某人發(fā)現(xiàn):當(dāng)x=(nÎN)時(shí),有f(x)<2x+2.由此他提出猜想:對一切xÎ(0,1,都有,請你判斷此猜想是否正確,并說明理由.

 

 

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